فراكتال ها مفاهيم رياضى هندسى هستند كه در چند سال اخير و به خصوص پس از كارهاى بنديت مندلبورت، رياضيدان لهستانى بر روى آنها بسيار مورد توجه دانشمندان ساير علوم قرار گرفته است. مفاهيمى كه خواص آنها به اندازه شان بستگى ندارد، در فيزيك، شيمى، زيست شناسى، زمين شناسى و پزشكى بسيار ديده شده اند و از خواص آنها مى توان براى درك بهتر پديده هاى مورد نظر استفاده كرد. تاكنون تعريف دقيقى از ماهيت فراكتال ها نشده است اما از يك ديدگاه كلى مى توان گفت كه فراكتال موجودى هندسى است كه قوانين كلى حاكم بر آن وابسته به مقياسى كه در آن كار مى كنيم نيست. يعنى جزئيات آن شبيه كل هستند. فراكتال ها جزئيات نامحدودى دارند كه داراى ساختارى خودمتشابه در مقادير مختلف بزرگ نمايى، هستند. در اكثر موارد يك قانون و قاعده خاص به ميزان نامحدودى تكرار مى شود تا يك طرح فراكتالى به وجود آيد. واژه فراكتال در سال ۱۹۷۵ توسط «بنديت مندلبورت» پدر فراكتال، ابداع شد. ريشه اين لغت، عبارت لاتين Fractus به معناى «شكسته» است. پيش از اين كه مندلبورت اين واژه را ابداع كند، براى چنين اشكالى، از واژه «منحنى هاى هيولايى» استفاده مى شد. فراكتال ها را عموماً موجوداتى رياضى مى پندارند و اين به علت مشهور بودن ساختار «فراكتال هندسى» است اما نشان داده شده است كه بسيارى از وضعيت هايى كه هندسه كلاسيك (اقليدسى) از توضيح آنها عاجز است، توسط فراكتال ها، به راحتى بيان مى شود. به همين دليل فراكتال ها در علوم كاربردهاى بسيارى پيدا كرده اند، از فيزيك و شيمى و هوا شناسى گرفته تا بيولوژى ملكولى و پزشكى، از قوانين كلى حاكم بر فراكتال ها استفاده مى شود.
• فراكتال هاى هندسى
ساده ترين نوع فراكتال، فراكتال كانتور است. پاره خطى به طول يك واحد در نظر بگيريد و طول آن را به سه قسمت تقسيم كرده و قسمت وسطى را حذف كنيد. حالا دو تا خط داريم كه طول آنها يك سوم طول اوليه است. همين عمل را با هر كدام از اين پاره خط ها هم انجام مى دهيم. يعنى طول هر كدام را ثلث مى كنيم و قسمت وسطى را حذف مى كنيم. مى توان با كامپيوتر برنامه اى نوشت كه اين عمليات را چندين بار پياپى انجام دهد. اگر اين عمليات را بى شمار بار انجام دهيم (كارى كه از عهده كامپيوتر خارج است) شكلى به دست مى آيد كه مجموعه كانتور نام دارد. اگر به كل شكل نگاه كنيم، ساختارى مى بينيم كه تا بى نهايت ادامه دارد. اگر به سمت راست يا چپ خط دوم شكل نگاه كنيم، ساختارى مى بينيم كه باز هم تا بى نهايت ادامه يافته و در عين حال، كاملاً شبيه شكل كلى است. چنين ساختارهايى كه هر جزء آن با كل مجموعه يكى است و فقط در مقياس (Scale) تفاوت دارند را ساختارهاى خودمتشابه Self-similar مى گويند.
يكى از مشهورترين انواع فراكتال ها توسط «هلگ فون كخ» در سال ۱۹۰۴ طراحى شد، در اين نوع فراكتال، ابتدا يك پاره خط به طول يك واحد درنظر مى گيريم و آن را به سه قسمت تقسيم مى كنيم. سپس به جاى ضلع وسط دو ضلع مثلث متساوى الاضلاع را قرار مى دهيم. و اين كار را همين طور ادامه مى دهيم. فراكتال كخ نيز يك نوع فراكتال خودمتشابه است. اگر اين عمل را روى اضلاع يك مثلث متساوى الاضلاع انجام دهيم، شكل بسيار زيبايى به دست مى آيد كه «دانه برف كخ» نام دارد.
فراكتال سرپينسكى يك فراكتال هندسى است. اگر مثلث وسطى يك مثلث متساوى الاضلاع را حذف كنيم و براى همه مثلث هاى باقى مانده هم اين عمل را تا بى نهايت ادامه دهيم، مجموعه زيبايى از مثلث هاى پر و خالى به وجود مى آيد كه فراكتال سرپينسكى به دست خواهد آمد. در همه انواع فراكتال هاى خودمتشابه براى تبديل هر جزء به كل يا اجزاى كوچكتر، بايد همه ابعاد به يك مقياس بزرگ شوند. اما نوع ديگر فراكتال را خود الحاقى (Self-Affine) مى گويند. در اين نوع از فراكتال ها براى تبديل شدن به مقياس بزرگ تر بايد شكل در هر راستا به ضرايب مختلفى بزرگ نمايى شود. DNA زنجيره طويلى از اسيدهاى نوكلئيك است كه اطلاعات ژنتيكى را در خود ذخيره كرده است. اسيدهاى نوكلئيك دو دسته اند، پريدين و پريميدين. اگر در طول يك زنجيره DNA براى هر پريدين يك واحد به بالا برويم و براى هر پريميدين يك واحد به پائين، نمودارى به دست مى آيد كه داده هاى زيادى به ما مى دهد. به اين نمودار ولگشت DNA (DNA Walk) مى گويند. ولگشت هاى DNA نمونه هاى خوبى براى فراكتال هاى خودالحاقى هستند. اكثر ساختارهاى فراكتالى در طبيعت مثل ريشه هاى گياهان يا شاخه هاى درخت ها، ساختارهاى خوشه ها و كهكشان هاى كيهان، رشد يك سطح، سوختگى هاى روى كاغذ، شكستگى هاى DVDها و ساختارهاى زمين شناسى به خصوص اشكال زيبايى كه در غارها مشاهده مى شود، خواص فراكتالى خود الحاقى دارند. يكى از زيباترين نمونه هاى فراكتالى گل كلم است.
• ابعاد فراكتال ها
يكى از نكات بسيار جالب در بررسى فراكتال ها، بعد آنها است. مثلاً مى دانيم كه مربع يك شىء رياضى دوبعدى است. اين بعد دوم را مى توان اينگونه به دست آورد كه از تقسيم هر ضلع مربع به N قسمت مساوى و وصل كردن نقاط روبه رو به هم، N2 مربع به دست مى آيد كه اندازه هر كدام۱‎/N2 برابر مساحت مربع اولى است. اين شكل، يك ساختار فراكتالى دارد كه هر ضلع مربع هاى كوچك با ضريب N به اندازه ضلع مربع اصلى تبديل مى شود. بنابراين بعد هر جسم را مى توان اينگونه تعريف كرد: نسبت لگاريتم تعداد اشكال خودمتشابه به لگاريتم عامل بزرگ نمايى.
logN2/logN=2=D
حال اگر همين كار را با مجموعه كانتور انجام دهيم چون با دو مجموعه كانتور مى توان يك مجموعه كانتور به طول ۳ برابر مجموعه هاى اولى ساخت داريم:
D=log2/log3=0/631
يعنى يك مجموعه كانتور، موجودى ۶۳۱/۰ بعدى است. حال اگر به شكل مجموعه كانتور نگاه كنيم ما مى بينيم كه اين مجموعه نه يك خط كامل است كه بعد يك داشته باشد و نه يك نقطه كه بعد صفر داشته باشد بلكه موجودى بين آن دو است.
براى فراكتال كخ كه بيشتر از خط (بعد۱) و كمتر از صفحه (بعد ۲) است، داريم:
D=log4/log3=1/262
يا براى فراكتال سرپينسكى كه فضاى بيشترى را نسبت به فراكتال كخ مى پوشاند، اما به يك صفحه كامل نمى رسد، داريم:
D=log3/log2=1/58
در فراكتال ها اين بعد فراكتالى است كه مهم است و نه مقياس. زيرا در هر اندازه اى، اين بعد فراكتالى حفظ مى شود و بيانگر خاصيت اصلى فراكتال است. همين امر كاربرد فراكتال ها را در علم امروزى زياد كرده است.
در كيهان شناسى، ساختار يك كهكشان با يك خوشه كهكشانى (مجموعه اى از هزاران كهكشان) و يك خوشه نيز با يك ابرخوشه (مجموعه اى از هزاران خوشه كهكشانى) قابل قياس است. رشد نمونه هاى ميكروبيولوژيكى در محيط هاى كشت و يا نحوه كاركردهاى پليمرهاى صنعتى (مثل لاستيك ها) و پليمرهاى حياتى (مثل DNA و پروتئين ها) از مواردى هستند كه دانش فراكتال ها را مى توان در آنها به كار برد.

این هم یک نمونه فراکتال :

و این هم یکی از مناظر زیبای روستای آتان واقع در الموت :